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一、为什么要发明微积分？在当时用在什么地方？二、微积分是怎么推导出来的？（初创时期的思路）1. 🌟 例子一：瞬时速度2. 🌟 例子二：曲线下的面积3. 在当时用在什么地方？
四、为什么需要极限？五、在微积分初创时期，牛顿和莱布尼茨等大师对极限的理解？1. 极限在当时的应用
七、柯西极限定义的改进
一、为什么要发明微积分？在当时用在什么地方？
导数、微分、积分的“异”与“同”
17 世纪，科学的发展遇到了一些无法用传统几何/代数直接解决的问题 简而言之，微积分的发明是为了解决17世纪科学家和数学家们面临的两大核心问题：
瞬时变化率问题（微分学的核心）：
求任意曲线的切线斜率。（几何学问题）求物体在任意时刻的瞬时速度。（物理学问题）
平均速度很好算：路程差 / 时间差。但瞬时速度呢？比如，子弹射出枪口那一刹那的速度是多少？在那一刹那，时间差为0，路程差也为0，0/0在数学上没有意义。这是一个巨大的困惑。 求和问题（积分学的核心）：
求任意曲线围成的面积。（几何学问题）求物体运动的位移。（物理学问题）
如果速度是恒定的，位移 = 速度 × 时间。但如果速度是不断变化的呢？（比如自由落体运动，速度越来越快）如何计算一段时间内走过的总路程？ 物理学与天文学的需求
伽利略研究自由落体、抛物线运动，需要计算瞬时速度、加速度。开普勒行星三定律提出后，牛顿需要数学工具来证明“行星运动由引力主宰”。力学中经常涉及「连续变化」的问题，而几何/代数擅长处理静态关系，不擅长“瞬时变化率”。 几何学的难题
面积、体积、弧长等计算长期依赖“穷竭法”（古希腊阿基米德的方法）。穷竭法繁琐，缺少一般性的代数符号运算方法。
➡️ 于是，牛顿与莱布尼茨几乎同时独立发明了微积分：
牛顿：重点放在“运动与力学”，引入“流数与流率”（变化量与变化速度）。莱布尼茨：注重符号与形式化，发明了
d
y
d
x
\frac{dy}{dx}
dxdy、
∫
f
(
x
)
d
x
\int f(x)dx
∫f(x)dx 这种优雅记号。
当时的应用场景： 微积分从诞生之初就与科学革命紧密相连，被直接应用于：
天文学： 开普勒的行星运动定律（行星轨道是椭圆，速度在不断变化），牛顿需要微积分来证明和计算万有引力。物理学： 计算物体的重心、瞬时速度、瞬时加速度。几何学： 计算曲线长度、曲面面积、复杂体积（例如船体的体积）。光学： 研究光线通过透镜的路径（ Snell定律）。
二、微积分是怎么推导出来的？（初创时期的思路）
牛顿和莱布尼茨并没有像我们今天这样，从严格的极限定义出发来“推导”出微积分。他们的方法是直观的、富有启发性但也存在逻辑瑕疵的。其核心思想是巧妙地运用和操纵 “无穷小量”。
我们通过两个例子来看他们是如何思考的：
例子一：求瞬时速度（微分的前身）
微分思想（瞬时变化率）
牛顿想定义“瞬时速度”：
v
=
lim
Δ
t
→
0
Δ
s
Δ
t
v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}
v=Δt→0limΔtΔs
但当时没有严格“极限”的概念，牛顿说的是“流率”，即“在极小时间间隔下的比值”。
积分思想（累积量）
莱布尼茨从几何图形面积出发，把面积看作“无限多条细条形的和”：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
∑
f
(
x
i
)
Δ
x
\int_a^b f(x) dx \approx \sum f(x_i)\Delta x
∫abf(x)dx≈∑f(xi)Δx
他设想把曲线下方的面积分割成“无穷小矩形”，再把它们相加。
牛顿–莱布尼茨公式（微积分基本定理） 他们发现微分和积分其实是互逆操作：
d
d
x
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)
dxd∫axf(t)dt=f(x)
这一下子把两种思想统一了！
牛顿和莱布尼茨发现了微分和积分之间存在互逆关系（微积分基本定理），这使得计算变得非常强大和系统化。尽管他们的方法基于“无穷小”这种不牢固的基础，但得出的结果总是正确的，并且成功地解决了大量实际问题。
1. 🌟 例子一：瞬时速度
假设物体的位移与时间的关系为
s
=
t
2
s = t^2
s=t2
求在
t
=
2
t=2
t=2 时的瞬时速度。
取一个无穷小的时间增量
Δ
t
\Delta t
Δt（它是非零的、极其微小的量）。在这段时间里，位移的增量是：
Δ
s
=
(
2
+
Δ
t
)
2
−
2
2
\Delta s = (2+\Delta t)^2 - 2^2
Δs=(2+Δt)2−22
平均速度：
Δ
s
Δ
t
=
4
+
4
Δ
t
+
(
Δ
t
)
2
−
4
Δ
t
=
4
Δ
t
+
(
Δ
t
)
2
Δ
t
=
4
+
Δ
t
\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{4 + 4\Delta t + (\Delta t)^2 - 4}{\Delta t} = \frac{4\Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t} = 4 + \Delta t
ΔtΔs=Δt4+4Δt+(Δt)2−4=Δt4Δt+(Δt)2=4+Δt
因为
Δ
t
\Delta t
Δt 是“无穷小”，可以忽略它，认为它等于 0，于是得到
瞬时速度
=
4
\text{瞬时速度} = 4
瞬时速度=4
👉 这里出现了逻辑矛盾：
Δ
t
\Delta t
Δt 前面在分母时不能为零，最后一步又把它当作零忽略掉。于是“无穷小量”就陷入了一会儿是 0、一会儿不是 0 的矛盾。
2. 🌟 例子二：曲线下的面积
求函数
y
=
x
2
y = x^2
y=x2 在区间
[
0
,
1
]
[0,1]
[0,1] 与 x 轴围成的面积。
将区间
[
0
,
1
]
[0,1]
[0,1] 分成 无穷多份（设为
n
n
n 份），每份的宽度：
Δ
x
=
1
n
\Delta x = \frac{1}{n}
Δx=n1
这是一个无穷小量。
第
i
i
i 个矩形的高取右端点：
f
(
x
i
)
=
(
i
Δ
x
)
2
f(x_i) = (i\Delta x)^2
f(xi)=(iΔx)2
总面积近似为所有矩形面积之和：
S
≈
∑
i
=
1
n
(
i
Δ
x
)
2
⋅
Δ
x
=
∑
i
=
1
n
i
2
(
Δ
x
)
3
S \approx \sum_{i=1}^n (i\Delta x)^2 \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^n i^2 (\Delta x)^3
S≈i=1∑n(iΔx)2⋅Δx=i=1∑ni2(Δx)3
利用公式：
∑
i
=
1
n
i
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
,
Δ
x
=
1
n
\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \Delta x = \frac{1}{n}
i=1∑ni2=6n(n+1)(2n+1),Δx=n1
得到
S
≈
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
⋅
1
n
3
=
1
6
(
1
+
1
n
)
(
2
+
1
n
)
S \approx \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \cdot \frac{1}{n^3} = \frac{1}{6}\Bigl(1+\tfrac{1}{n}\Bigr)\Bigl(2+\tfrac{1}{n}\Bigr)
S≈6n(n+1)(2n+1)⋅n31=61(1+n1)(2+n1)
因为
n
n
n 是无穷大，
1
n
\tfrac{1}{n}
n1 是无穷小，可以忽略，于是
S
=
1
6
⋅
1
⋅
2
=
1
3
S = \frac{1}{6}\cdot 1 \cdot 2 = \tfrac{1}{3}
S=61⋅1⋅2=31
📌 总结
早期牛顿、莱布尼茨用“无穷小”解释这些问题，但容易陷入“一会儿是零，一会儿不是零”的矛盾。后来柯西、魏尔施特拉斯引入极限，才让“瞬时速度”“曲线面积”的计算变得严格和一致。
3. 在当时用在什么地方？
天体力学：牛顿用微积分证明万有引力导致椭圆轨道（《自然哲学的数学原理》）。物理学：描述自由落体、抛射物轨迹、流体力学、声学问题。几何学：求曲线的切线、曲率、面积、体积。工程学：18 世纪的桥梁、钟表、炮弹轨迹等问题也开始用到。
四、为什么需要极限？
正是因为上述方法中的逻辑瑕疵（无穷小量的矛盾），微积分从诞生之初就遭到了强烈的质疑和攻击（最著名的是贝克莱主教的“逝去的量的鬼魂”之说）。
数学家们意识到，必须为微积分建立一个坚实、严谨的逻辑基础，否则这座宏伟的数学大厦就有坍塌的风险。这就是“极限”概念被提出的最根本原因。
极限的作用是：
取代“无穷小”，为“无限趋近”提供一个静态的、算术化的、没有任何歧义的定义。
解决“0/0”的困境。极限描述的是一种趋势，而不是“在某个点”的状态。它问的是“当 x 无限接近 a 时，f(x) 会稳定地无限接近哪个值？”，而不是问“当 x = a 时，f(x) 等于多少”。
为微积分的所有核心概念（导数、积分、级数等）提供统一的、严格的定义。导数是差商的极限，定积分是和式的极限。 当时的困境：
牛顿说“无穷小”存在，但到底是什么？
莱布尼茨引入“无穷小量
d
x
dx
dx，dy)”，但这种东西究竟是不是 0？如果是 0，怎么还能相除？如果不是 0，为什么可以忽略高阶？
👉 极限的必要性：
极限提供了一个严谨的框架来解释“无穷小”的思想。 例如瞬时速度：
v
=
lim
Δ
t
→
0
Δ
s
Δ
t
v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}
v=Δt→0limΔtΔs
面积：
A
=
lim
n
→
∞
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
)
Δ
x
A = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x
A=n→∞limi=1∑nf(xi)Δx
五、在微积分初创时期，牛顿和莱布尼茨等大师对极限的理解？
在17-18世纪，大师们对极限的理解是直观的、动态的、哲学化的，而非严格的。
牛顿：他称之为“首末比方法”或“流数法”。他把变量看作是连续流动的“流量”（Fluents），它们的流动速度叫“流数”（Fluxions）。他试图通过让“增量”“最终消失”（ultimately vanish）来求得“最终比”（ultimate ratio）。这本质上是一种动态的极限过程，但他无法用静态的数学语言清晰地定义“最终消失”那一刻的状态。莱布尼茨：他明确使用了“无穷小量”（Infinitesimals）这个术语。在他的观念里，无穷小量是一个比任何实数都小但不是零的量。他依靠几何直观和运算规则来操作这些无穷小量，并取得了巨大成功。共同的特性：他们的极限观念都缺乏我们今天所要求的ε-δ定义的精确性。它依赖于数学家的直觉和几何想象。他们知道这个方法有效，并且能得出正确结果，但他们无法在当时的数学框架内为“无穷小”的存在性提供一个合乎逻辑的解释。
总结一下整个历程：
需求驱动：科学问题（速度、面积、切线）催生了微积分。天才直觉：牛顿和莱布尼茨凭借“无穷小”的直观概念，创立了强大的计算工具。逻辑危机：“无穷小”的基础不牢固，引发了数学界的危机和质疑。严格化：19世纪，柯西、魏尔斯特拉斯等数学家引入极限的ε-δ定义，为微积分奠定了坚如磐石的逻辑基础，使其从一种“神奇的算法”转变为一门严谨的数学学科——数学分析。
1. 极限在当时的应用
在 17–18 世纪，极限概念还很模糊，但已经用于：
切线问题：求函数在一点的切线斜率。曲线长度/面积：通过无限分割取极限来逼近真实值。数列收敛：例如无穷级数展开（牛顿的[[二项式展开]]、幂级数）。
七、柯西极限定义的改进
到 19 世纪，数学家觉得牛顿/莱布尼茨的方法“直观但不严谨”。于是 柯西 (Cauchy) 给出了严格定义：
柯西极限定义
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
L
⟺
∀
ε
>
0
,
∃
δ
>
0
,
0
<
∣
x
−
a
∣
<
δ
⇒
∣
f
(
x
)
−
L
∣
<
ε
\lim_{x\to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon
x→alimf(x)=L⟺∀ε>0,∃δ>0,0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε
这就彻底避免了“无穷小量到底是什么”的争论。
改进之处
把模糊的“无穷小”替换为严谨的“ε–δ 语言”。统一了数列极限、函数极限的处理。为后来的严谨数学分析（魏尔施特拉斯、康托尔）奠定基础。
✅ 总结：
牛顿、莱布尼茨发明微积分是为了解决力学和几何中的连续变化问题。极限思想是为了让“无穷小”变得合理。柯西的定义用 ε–δ 消除了歧义，让微积分走向严格化，成为现代数学分析的基石。